Question

18．已知函數f（x）=a-|x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）當a=6時，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若二次函數y=x²+2x+3與函數y=f（x）的圖象恒有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=6時便可得出x滿足：|x+1|+|x-1|＜3，討論x，從而去掉絕對值符號，這樣便可求出每種情況x的范圍，可得不等式的解集；
（Ⅱ）由二次函數y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1處取得最大值a-2，故有a-2≥2，由此求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設知：6-|x-1|-|x+1|＞3．
|x+1|+|x-1|＜3；
①當x＞1時，得x+1+x-1＜3，解得x＜$\frac{3}{2}$；
②當-1≤x≤1時，得x+1+1-x＜3，恒成立；
③當x＜-1時，得-x-1-x+1＜3，解得x＞-$\frac{3}{2}$；
∴不等式的解集為：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
解：由二次函數y=x²+2x+3=（x+1）²+2，該函數在x=-1取得最小值2，
因為f（x）=a-|x-1|-|x+1|．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+a，x＜-1}\\{a-2，-1≤x≤1}\\{a-2x，x＞1}\end{array}\right.$，在x=-1處取得最大值a-2，
所以要使二次函數y=x²+2x+3與函數y=f（x）的圖象恒有公共點，只需a-2≥2，
求得a≥4．

點評 本題主要考查了函數的恒成立問題，絕對值不等式的解法，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．