Question

13．在平面直角坐標系xOy中，直線l過點P（2，6），且傾斜角為$\frac{3}{4}π$，在極坐標系（與平面直角坐標系xOy取相同的長度，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$．
（1）求直線l的參數方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）設曲線C與直線l交于點A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）根據直線l過點P（2，6），且傾斜角為$\frac{3π}{4}$，可得直線l的參數方程．由$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$得ρ=10cosθ，即ρ²=10ρcosθ．l利用互化公式即可得出曲線C的直角坐標方程．
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得${t^2}+9\sqrt{2}t+20=0$，△＞0，利用|PA|+|PB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）∵直線l過點P（2，6），且傾斜角為$\frac{3π}{4}$，
∴直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），
由$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$得ρ=10cosθ，即ρ²=10ρcosθ．
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-10x=0．
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，
得${（-3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=25$，${t^2}+9\sqrt{2}t+20=0$，△=82＞0，
可設是t₁，t₂上述方程得兩個實根，則有$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-9\sqrt{2}}\\{{t_1}{t_2}=20}\end{array}}\right.$，
又直線l過點P（2，6），所以$|{PA}|+|{PB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=9\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線參數方程的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．