Question

10．已知三角形ABC三邊長分別為x、y、1且x，y∈（0，1），則△ABC為銳角三角形的概率是2-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，得出△ABC為銳角三角形時x²+y²＞1；
再由三角形的兩邊和大于第三邊，得出x+y＞1；
由此求出對應圖形的面積比即可得出概率值．

解答 解：△ABC的三邊為x、y、1，且x、y∈（0，1）；
△ABC為銳角三角形，則x²+y²＞1，且x+y＞1；
畫出圖象，如圖所示；
在曲線x²+y²=1之外的區域與正方形重合的陰影部分，
構成三角形的區域為不等式x+y＞1表示的區域和正方形區域的重合部分，
∴S_陰影=1-$\frac{1}{4}$π×1²=1-$\frac{π}{4}$，
三角形面積為$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
所求的概率值為P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{三角形}}$=$\frac{1-\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}}$=2-$\frac{π}{2}$．
故答案為：2-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了幾何概型的概率計算問題，是綜合性題目．