Question

16．二次函數f（x）開口向上，且滿足f（x+1）=f（3-x）恒成立．已知它的兩個零點和頂點構成邊長為2的正三角形．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在[t，t+3]的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）的對稱軸為x=2，從而得出f（x）的零點和頂點坐標，利用待定系數法求出解析式；
（2）討論對稱軸和區間[t，t+3]的位置關系，得出f（x）的單調性，根據單調性計算最小值．

解答 解：（1）∵f（x+1）=f（3-x），∴f（x）的對稱軸為x=$\frac{x+1+3-x}{2}$=2，
∵f（x）的兩個零點和頂點構成邊長為2的正三角形，且f（x）開口向上，
∴f（x）的兩個零點為1，3，頂點坐標為（2，-$\sqrt{3}$），
設f（x）=a（x-1）（x-3），則f（2）=-$\sqrt{3}$，
即-a=-$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$（x-1）（x-3）．
（2）若2≤t，則f（x）在[t，t+3]上是增函數，
∴f_min（x）=f（t）=$\sqrt{3}$（t-1）（t-3），
若t＜2＜t+3，即-1＜t＜2時，f（x）在[t，t+3]上先減后增，
∴f_min（x）=f（2）=-$\sqrt{3}$，
若2≥t+3，即t≤-1時，f（x）在[t，t+3]上是減函數，
∴f_min（x）=f（t+3）=$\sqrt{3}$t（t+2）．
綜上，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}t（t+2），t≤-1}\\{-\sqrt{3}，-1＜t＜2}\\{\sqrt{3}（t-1）（t-3），t≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數解析式的求法，二次函數的單調性，二次函數的最值計算，屬于中檔題．