Question

16．設函數f（x）=sinx-cosx+x+1．
（Ⅰ）當x∈[0，2π]，求函數f（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-ax在[0，π]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求解得出f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），列表判斷單調性，極值．
（II）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函數，
知y′=cosx+sinx=1-a≥0恒成立，根據[0，π]上，利用三角函數性質判處最值即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]，
知 f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
令f′（x）=0從而sin（x+$\frac{π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$得x=π或x=$\frac{3π}{2}$

x	（0，π）	π	（π，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	π+2	單調遞減	$\frac{3π}{2}$	單調遞增

因此，由上表知f（x）的單調遞增區間是（0，π）與（$\frac{3π}{2}$，2π），
單調遞減區間是（π），$\frac{3π}{2}$，），極小值為f（π）=π+2
（Ⅱ）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函數，
知y′=cosx+sinx+1-a≥0恒成立，
即a-1≤cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）恒成立，
∵x∈[0，π]，$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x$+\frac{π}{4}$）≤1，
-1≤$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$
只需a-1≤-1成立，即a≤0．

點評 本題綜合考查了導數在解決函數最值，單調性中的運用，考查了綜合運用知識的能力，屬于中檔題．