Question

11．已知函數f（x）的定義域是R，f′（x）是f（x）的導數，f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，g（x）的導數恒大于零，函數h（x）=f（x）-e^x（e=2.71828…）是自然對數的底數）的最小值是0．

Answer 1

分析 根據條件判斷f′（x）與f（x）的關系，構造函數求出函數的最值，進行比較即可．

解答 解：∵f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，
∴g（1）=f′（1）-f（1）=0，則f′（1）=f（1）=e，
g′（x）＞0恒成立，
即g（x）為增函數，
則當x＞1時，g（x）＞g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＞0，
當x＜1時，g（x）＜g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＜0，
構造函數m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則m′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
則當x＞1時，m′（x）＞0，此時遞增，
當x＜1時，m′（x）＜0，此時遞減，
即函數m（x）取得極小值同時也是最小值m（1）=$\frac{f（1）}{e}$=1
即m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$≥1，
則f（x）≥e^x，
則h（x）=f（x）-e^x≥e^x-e^x=0，
即h（x）的最小值為0．
故答案為：0

點評 本題主要考查函數最值的應用，根據導數之間的關系，利用構造法是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．