Question

3．如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的一點，且BF⊥平面ACE，AC與BD交于點G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD；
（3）求三棱錐C-BFG的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AE⊥BC，AE⊥BF，由此能證明AE⊥平面BCE．
（2）推導出CE⊥BF，FG∥AE，由此能證明AE∥平面BFD．
（3）由V_CBFG=V_GBCF，能求出三棱錐C-BFG的體積．

解答 證明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．…（4分）
（2）∵矩形ABCD中，AC與BD交于點G．
∴依題意可知點G是AC的中點．
由BF⊥平面ACE，知CE⊥BF
而BC=BE，∴點F是EC中點．
∴在△AEC中，FG∥AE
又∵FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD…（8分）
解：（3）∵AE∥FG且AE⊥平面BCE
∴FG⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
∵點G是AC中點，F是CE中點，
∴FG=$\frac{1}{2}$AE=1
又知RtBCE中，CE=$\sqrt{2}BE$=$2\sqrt{2}$
BF=CF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{2}$
所以S_BCF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1
所以V_CBFG=V_GBCF=$\frac{1}{3}$S_BCFFG=$\frac{1}{3}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．