Question

8．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=1，則異面直線BC₁與AC所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據長方體相對的平面上的兩條對角線平行，得到兩條異面直線所成的角，這個角在一個可以求出三邊的三角形中，利用余弦定理得到結果．

解答 解：∵A₁C₁∥AC，
∴異面直線BC₁與AC所成角等于A₁C₁與BC₁所成角．
在△BA₁C₁中，BC₁=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，A₁C₁=$\sqrt{5}$，A₁B=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠A₁C₁B=$\frac{5+5-8}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，
故選：B

點評 本題考查異面直線夾角的計算．應先依照定義，作出其平面角，再去求解．考查轉化、計算能力．