Question

2．在三棱錐P-ABC中，△PBC和△PAC是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，AB=2，D是AB中點．
（1）在棱PA上求一點M，使得DM∥面PBC；
（2）求證：面PAB⊥面ABC；
（3）求二面角P-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明DM∥PB，然后證明DM∥面PBC；
（2）連結CD，PD，證明PD⊥DC，PD⊥AB，說明PD⊥面ABC，然后證明面PAB⊥面ABC；
（3）取BC的中點E，連接DE，PE，說明∠PED是二面角P-BC-A的平面角，然后通過求解三角形即可得到結果．

解答 （1）證明：當M為棱PA中點時，DM∥面PBC，
因為D是AB中點，M是PA的中點，所以DM∥PB，
因為PB?面PBC，DM?面PBC，所以DM∥面PBC；
（2）證明：連結CD，PD，因為$AC=BC=\sqrt{2}$，D為AB中點，AB=2，
所以DC⊥AB，DC=1同理，PD⊥AB，PD=1．
又因為$PC=\sqrt{2}$，則PC²=PD²+DC²，所以∠PDC=90°，即PD⊥DC，
因為PD⊥AB，CD∩AB=D，所以PD⊥面ABC，因為PD?面PAB，
所以面PAB⊥面ABC；
（3）解：取BC的中點E，連接DE，PE，
因為$PB=PC=BC=\sqrt{2}$，所以PE⊥BC，且$PE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
因為DC=DB，所以DE⊥BC，則∠PED是二面角P-BC-A的平面角，
因為PD⊥面ABC，所以∠PDE=90°，
故$sin∠PED=\frac{PD}{PE}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查二面角的平面角以及直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．