Question

9．已知函數$f（x）={log_4}\frac{x-1}{x+1}$．
（Ⅰ）若$f（a）=\frac{1}{2}$，求a的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若$f（a）=\frac{1}{2}$，則$\frac{a-1}{a+1}$=2，解得a的值；
（Ⅱ）函數f（x）為奇函數，結合函數奇偶性的定義和對數的運算性質，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函數$f（x）={log_4}\frac{x-1}{x+1}$．$f（a）=\frac{1}{2}$，
∴$lo{g}_{4}\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a-1}{a+1}$=2，
解得：a=3；
（Ⅱ）函數f（x）為奇函數，理由如下：
函數f（x）的定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）關于原點對稱，
且f（-x）+f（x）=$lo{g}_{4}\frac{-x-1}{-x+1}$+$lo{g}_{4}\frac{x-1}{x+1}$=0，
即f（-x）=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，對數函數的圖象和性質，函數求值，難度中檔．