Question

19．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=3a_n+1，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由S_n=3a_n+1，S_n-1=3a_n，則可得3a_n+1=4a_n．再利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：當n=1時，a₁=3a₂，
∴a₂=$\frac{1}{3}$
當n≥2時，
由S_n=3a_n+1，S_n-1=3a_n，
∴a_n=3a_n+1-3a_n，
∴3a_n+1=4a_n．
∴a_n+1=$\frac{4}{3}$a_n，
∴從第二項開始，數列{a_n}是$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了遞推式的意義、等比數列的通項公式，屬于基礎題．