Question

20．定義在[1，e²]上的函數$f（x）=\frac{lnx}{x}$，則對任意的x∈[1，e²]，使f（x）單調遞減的概率為$\frac{e}{e+1}$．

Answer 1

分析 求導數，由f'（x）＜0，解得函數在區間（e，e²]上單調遞減，即可求出函數f（x）單調遞減的概率．

解答 解：$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}（{e^2}≥x≥1）$，由f'（x）≥0，解得函數在區間[1，e]上單調遞增，
由f'（x）＜0，解得函數在區間（e，e²]上單調遞減，所以函數f（x）單調遞減的概率$P=\frac{{{e^2}-e}}{{{e^2}-1}}=\frac{e}{e+1}$．
故答案為$\frac{e}{e+1}$．

點評 本題考查幾何概型，考查導數知識的運用，屬于中檔題．