Question

5．設函數$f（x）=b{x^3}-\frac{3}{2}（2b+1）{x^2}+6x+a（b＞0）$．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設b=1，若方程f（x）=0有且只有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再分類討論即可得到函數的單調區間，
（2）代值，并求導，根據（1）得到函數的單調區間，求出函數的極值，依題意只需f（2）＞0或f（1）＜0即可．

解答 解：（1）f'（x）=3bx²-3（2b+1）x+6=3（x-2）（bx-1），
令f'（x）=0得x=2或$x=\frac{1}$，
①當$\frac{1}＜2$即$b＞\frac{1}{2}$時，f（x）在$（{-∞，\;\;\frac{1}}）$和（2，+∞）上遞增，在$（{\frac{1}，\;\;2}）$上遞減．
②當$\frac{1}＞2$即$0＜b＜\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，2）和$（{\frac{1}，\;\;+∞}）$上遞增，在$（{2，\;\;\frac{1}}）$上遞減．
③當$\frac{1}=2$即$b=\frac{1}{2}$時，f（x）在R上遞增．
（2）b=1時，$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x+a$，
∴f'（x）=3x²-9x+6=3（x-2）（x-1），
∴f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減，
∴在x=2處取得極小值，在x=1處取得極大值，
∴依題意只需f（2）＞0或f（1）＜0即可，f（2）=2+a＞0，或$f（1）=\frac{5}{2}+a＜0$，
∴a＞-2或$a＜-\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數的性質、方程的根問題的處理策略，考查利用導數研究函數的極值的知識，屬中檔題．