Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-3，-1＜x≤0}\\{x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f（x）-mx-m在（-1，1]內有且僅有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍為（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），作出兩個函數的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），
分別作出函數f（x）和y=h（x）=m（x+1）的圖象如圖：
由圖象可知f（1）=1，h（x）表示過定點A（-1，0）的直線，
當h（x）過（1，1）時，m=$\frac{1}{2}$，此時兩個函數有兩個交點，
此時滿足條件的m的取值范圍是0＜m≤$\frac{1}{2}$，
當h（x）過（0，-2）時，h（0）=-2，解得m=-2，此時兩個函數有兩個交點，
當h（x）與f（x）相切時，兩個函數只有一個交點，此時 $\frac{1}{x+3}$x-3=m（x+1）即m（x+1）²+3（x+1）-1=0，
當m=0時，只有1解，當m≠0，由△=9+4m=0得m=-$\frac{9}{4}$，此時直線和f（x）相切，
∴要使函數有兩個零點，則-$\frac{9}{4}$＜m≤-2或0＜m≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查函數零點的應用，利用數形結合是解決此類問題的基本方法，屬于中檔題．