Question

17．已知數列{a_n}，{b_n}分別滿足a₁=1，|a_n+1-a_n|=2，且${b_1}=-1，|{\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}}$|=2，其中n∈N^*，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n．
（1）若數列{a_n}，{b_n}都是遞增數列，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足：存在唯一的正整數k（k≥2），使得c_k＜c_k-1，則稱數列{c_n}為“k墜點數列”．
①若數列{a_n}為“5墜點數列”，求S_n；
②若數列{a_n}為“p墜點數列”，數列{b_n}為“q墜點數列”，是否存在正整數m使得S_m+1=T_m？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由兩數列為遞增數列，結合遞推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，由此可得數列{a_n}為等差數列，數列{b_n}從第二項起構成等比數列，然后利用等差數列和等比數列的通項公式求得答案；
（2）①根據題目條件判斷：數列{a_n}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，求解S_n即可．
②運用數列{b_n}為“墜點數列”且b₁=-1，綜合判斷數列{b_n}中有且只有兩個負項．假設存在正整數m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數，而{a_n}中各項均為奇數，可得m必為偶數．再討論q＞m，q=m，q＜m，證明m≤6，求出數列即可．

解答 解：（1）∵數列{a_n}，{b_n}都為遞增數列，
∴由遞推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁=2，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，
則數列{a_n}為等差數列，數列{b_n}從第二項起構成等比數列．
∴a_n=2n-1，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；                            
（2）①∵數列{a_n}滿足：存在唯一的正整數k=5，使得a_k＜a_k-1，且|a_n+1-a_n|=2，
∴數列{a_n}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，
即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-4n+16，n≥5}\end{array}\right.$；                                   
②∵|$\frac{_{n+1}}{_{n}}$|=2，即b_n+1=±2b_n，
∴|b_n|=2^n-1，
而數列{b_n}為“q墜點數列”且b₁=-1，
∴數列{b_n}中有且只有兩個負項．
假設存在正整數m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數，
而{a_n}中各項均為奇數，
∴m必為偶數．   
由S_m+1≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）²，
當q＞m時，T_m=-1+2+4+…+2^m-2+2^m-1=2^m-3，
當m≥6時，2^m-3＞（m+1）²，故不存在正整數m使得S_m+1=T_m；
當q=m時，T_m=-1+2¹+…+2^m-2+（-2^m-1）=-3＜0，
顯然不存在正整數m使得S_m+1=T_m；
當q＜m時，∴（T_m）_min=-1+2¹+…+2^m-3+（-2^m-2）+2^m-1=2^m-1-3．
當2^m-1-3＜（m+1）²，才存在正整數m使得S_m+1=T_m；
即m≤6．                                                     
當m=6時，q＜6，
構造：{a_n}為1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}為-1，2，4，8，-16，32，64，…
此時p=3，q=5．
∴m_max=6，對應的p=3，q=5．

點評 本題是新定義題，考查了數列遞推式，綜合考查學生運用新定義求解數列的問題，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．