Question

6．若數(shù)列{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n•S_n+1=$\frac{3}{4}$，則正整數(shù)n的值為6．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得前n項(xiàng)和為S_n，再由條件可得n的方程，解方程即可得到n的值．

解答 解：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項(xiàng)和為S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
S_n•S_n+1=$\frac{3}{4}$，即為$\frac{n}{n+1}$•$\frac{n+1}{n+2}$=$\frac{3}{4}$，
解得n=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．