Question

7．已知一個口袋中裝有黑球和白球共7個，這些球除顏色外完全相同，從中任取2個球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$．現有甲、乙兩人輪流、不放回地從口袋中取球，每次取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，直到口袋中的球取完為止．若取出白球，則記2分；若取出黑球，則記1分．每個球在每一次被取出是等可能的．用ξ表示甲、乙最終得分差的絕對值．
（1）求口袋中原有白球的個數；
（2）求隨機變量ξ的概率分布和數學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）設口袋中原有n個白球，由題意列出方程求出n的值；
（2）分析甲4次取球的可能情況及相應的分數之和，得出與之對應的乙的取球情況及相應的分數之和，寫出隨機變量ξ的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望．

解答 解：（1）設口袋中原有n個白球，由題意知，
$\frac{1}{7}$=$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$，
化簡得n²-n-6=0，
解得n=3或n=-2（不合題意，舍去），
所以口袋中原有白球3個；
（2）由（1）知，口袋中有3個白球，4個黑球，
甲4次取球的可能情況是4個黑球，3黑1白，2黑2白，1黑3白；
相應的分數之和為4分，5分，6分，7分；
與之對應的乙的取球情況是3個白球，2白1黑，1白2黑，3黑；
相應的分數之和為6分，5分，4分，3分；
所以隨機變量ξ的可能取值為0，2，4；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{4}{+C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{19}{35}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
∴ξ的概率分布為

ξ	0	2	4
P	$\frac{12}{35}$	$\frac{19}{35}$	$\frac{4}{35}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{19}{35}$+4×$\frac{4}{35}$=$\frac{54}{35}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．