Question

6．在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，a=4bcosC，$sinC=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
（1）求角B 的值；
（2）若$b=\sqrt{5}$，求三角形ABC 的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及三角內角和定理即可求解出角B 的值；
（2）利用正弦定理求出c，根據sinA=sin（B+C）求解sinA的值，即可求三角形ABC 的面積．

解答 解：（1）∵$\frac{a}=4cosC$ 
由正弦定理：$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$ 
得：$\frac{sinA}{sinB}=4cosC$ 
則sinA=4sinBcosC 
而sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=4sinBcosC 
則cosB•sinC=3sinB•cosC 
即：$tanB=\frac{1}{3}tanC$ 
由已知cosC＞0，
且$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ 
那么$tanC=\frac{sinC}{cosC}=3$ 
則tanB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}得$ $c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{\sqrt{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=3$，
又$sinA=sin（B+C）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ 
則△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×3×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=3$．

點評 本題考查了正弦定理和三角形內角和定理的運用和化簡計算能力．屬于基礎題．