Question

13．已知函數y=2^x（0＜x＜3）的值域為A，函數y=lg[-（x+a）（x-a-2）]（其中a＞0）的定義域為B．
（1）當a=4時，求A∩B；
（2）若A⊆B，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用指數函數的單調性，可得A，由對數的真數大于0，結合二次不等式的解法可得B，再由交集的定義即可得到所求；
（2）由A⊆B，可得-a≤1，且8≤a+2，且a＞0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數y=2^x（0＜x＜3）的值域為A，
可得A=（1，8），
函數y=lg[-（x+a）（x-a-2）]（其中a＞0）的定義域為B，
當a=4時，可得B={x|-（x+4）（x-4-2）＞0}={x|-4＜x＜6}
=（-4，6），
即有A∩B=（1，6）；
（2）A⊆B，且B={x|-（x+a）（x-a-2）＞0}={x|-a＜x＜a+2}，
可得-a≤1，且8≤a+2，且a＞0，
即有a≥6，
則正實數a的取值范圍為[6，+∞）．

點評 本題考查集合的交集的求法和集合的包含關系，同時考查函數的定義域和值域的求法，注意運用指數函數的單調性和對數函數的真數大于0以及二次不等式的解法，屬于中檔題．