Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+2y-2=0交于A、B兩點，|AB|=$\sqrt{5}$，且弦AB的中點的坐標為（m，$\frac{1}{2}$），求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 弦AB的中點的坐標為（m，$\frac{1}{2}$），代入直線方程可得m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯立化為：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，利用根與系數的關系、中點坐標公式可得x₁+x₂=2，a²=4b²，x₁x₂=2-2b²．利用|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$，即可得出．

解答 解：∵弦AB的中點的坐標為（m，$\frac{1}{2}$），∴m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化為：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，x₁x₂=$\frac{4{a}^{2}-4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，
可得a²=4b²，∴x₁x₂=2-2b²．
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-4×（2-2{b}^{2}）}$=$\sqrt{5}$，可得b²=$\frac{9}{8}$，a²=$\frac{9}{2}$．
∴此橢圓的方程為$\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{8{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題題．