Question

16．設M，N，P是單位圓上三點，若MN=1，則$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 固定M，N兩點，設P（cosα，sinα），代入平面向量的坐標運算，根據三角恒等變換化簡得出最大值．

解答 解：設M（1，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（cosα，sinα），
則$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（cosα-1，sinα），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{1}{2}-$cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴當cos（α+$\frac{π}{3}$）=-1時，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$取得最大值$\frac{3}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．