Question

6．若有窮數列a₁，a₂…a_n（n是正整數），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整數，且1≤i≤n），就稱該數列為“對稱數列”．例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”．
（1）已知數列{b_n}是項數為9的對稱數列，且b₁，b₂，b₃，b₄，b₅成等差數列，b₁=2，b₄=11，試求b₆，b₇，b₈，b₉，并求前9項和s₉．
（2）若{c_n}是項數為2k-1（k≥1）的對稱數列，且c_k，c_k+1…c_2k-1構成首項為31，公差為-2的等差數列，數列
{c_n}前2k-1項和為S_2k-1，則當k為何值時，S_2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）設{d_n}是100項的“對稱數列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項為1，公比為2的等比數列．求{d_n}前n項的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

分析 （1）求出{b_n}的前4項，利用對稱性得出后4項；
（2）根據對稱性求出S_2k-1關于k的函數，利用二次函數的性質得出S_2k-1的最大值；
（3）由對稱可知{d_n}前50項為公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，討論n與50的大小關系得出S_n．

解答 解：（1）設{b_n}前5項的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，
∴b₆=b₄=11，b₇=b₃=2+2×3=8，b₈=b₂=2+3=5，b₉=b₁=2，
∴s₉=2（2+5+8+11+14）-14=66；                                
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
∴${S_{2k-1}}=2[{k×31+\frac{k（k-1）}{2}×（-2）}]-31=-2{（\;k-16\;）^2}+2×{16^2}-31$，
∴當k=16時，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為481．               
（3）${d_{51}}=1，{d_{100}}=1×{2^{49}}={2^{49}}$．
由題意得 d₁，d₂，…，d₅₀是首項為2⁴⁹，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列．   
當n≤50時，S_n=d₁+d₂+…+d_n=$\frac{{{2^{49}}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}={2^{50}}-{2^{50-n}}$．       
當51≤n≤100時，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）=${2^{50}}-1+\frac{{1-{2^{n-50}}}}{1-2}={2^{50}}+{2^{n-50}}-2$
綜上所述，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{50}}-{2^{50-n}}，1≤n≤50，\;\;\;\;}\\{{2^{50}}+{2^{n-50}}-2，51≤n≤100}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查了等差數列，等比數列的性質，數列求和，屬于中檔題．