Question

15．已知點P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F₁，F₂分別為雙曲線的左、右焦點，I為△F₁PF₂的內心，若2（S${\;}_{△P{F}_{1}I}$-S${\;}_{△P{F}_{2}I}$）=S${\;}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，則該雙曲線的離心率是2．

Answer 1

分析 由I為△F₁PF₂的內心，可知I到三角形三邊距離都相等，由2（${S}_{△P{F}_{1}I}$-${S}_{△P{F}_{2}I}$）=${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，根據三角形的面積公式可得2（丨PF₁丨•r-丨PF₂丨•r）=丨F₁F₂丨•r，求得2（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=丨F₁F₂丨，根據雙曲線的定義可得：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，丨F₁F₂丨=2c，則c=2a，利用離心率公式e=$\frac{c}{a}$即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵I為△F₁PF₂的內心，
∴I到三角形三邊距離都相等，設內切圓半徑r，
∴2（${S}_{△P{F}_{1}I}$-${S}_{△P{F}_{2}I}$）=${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，
∴2（丨PF₁丨•r-丨PF₂丨•r）=丨F₁F₂丨•r，
2（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=丨F₁F₂丨，
∵丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，丨F₁F₂丨=2c，
∴2a=c，即c=2a，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的定義，離心率公式及三角形內心的性質，考查計算能力，屬于中檔題．