Question

16．曲線f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）上一動點P（x₀，f（x₀））處的切線斜率的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 先求出曲線對應函數的導數，由基本不等式求出導數的最小值，即得到曲線斜率的最小值．

解答 解：f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）的導數f′（x）=3x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴在該曲線上點（x₀，f（x₀））處切線斜率 k=3x₀²+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
由函數的定義域知 x₀＞0，
∴k≥2$\sqrt{3{{x}_{0}}^{2}•\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，當且僅當3x₀²=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 時，等號成立．
∴k的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查曲線的切線斜率與對應的函數的導數的關系，以及基本不等式的應用，體現了轉化的數學思想．