Question

5．若函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（{\frac{1}{2}}）}^{x-\frac{3}{2}}}，x≤\frac{1}{2}}\\{{{log}_a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}$（a＞0，且a≠1）的值域是R，則實數a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根據指數函數的性質可求出當x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）≥2，即可得到f（x）=log_ax為減函數，且log_a$\frac{1}{2}$≥2，解得即可．

解答 解：當x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x-\frac{3}{2}}$≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}$=2，
∵函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（{\frac{1}{2}}）}^{x-\frac{3}{2}}}，x≤\frac{1}{2}}\\{{{log}_a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}$（a＞0，且a≠1）的值域是R，
∴f（x）=log_ax為減函數，且log_a$\frac{1}{2}$≥2=log_aa²，
∴a²≥$\frac{1}{2}$，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1，
故答案為：$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

點評 本題考查了分段函數和指數函數和對數函數的圖象和性質，屬于基礎題．