Question

20．已知不等式（1-a）x²-4x+6＞0的解集是{x|-3＜x＜1}．
（I）求a的值；
（II）若不等式ax²+bx+1≥0在R上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）由題意，利用根與系數的關系，即可求出a的值；
（ II）根據不等式的解集為R時△≤0，列出不等式求出b的取值范圍．

解答 解：（ I）由題意知1-a＜0，
且-3和1是方程（1-a）x²-4x+6=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-a＜0\\ \frac{4}{1-a}=-2\\ \frac{6}{1-a}=-3\end{array}\right.$，…（3分）
解得a=3；…（5分）
（ II）由（ I）知a=3，
代入ax²+bx+1≥0，得3x²+bx+1≥0；…（6分）
若此不等式解集為R，則△=b²-4ac≤0，
解得-2$\sqrt{3}$≤b≤2$\sqrt{3}$，
故b的取值范圍是[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了根與系數的關系以及判別式的應用問題，是基礎題目．