Question

15．某超市為了了解顧客結算時間的信息，安排一名工作人員收集，整理了該超市結算時間的統計結果，如表：

結算所需的時間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

假設每個顧客結算所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，從第一個顧客開始辦理業務時計時．
（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始結算的概率；
（2）X表示至第2分鐘末已結算完的顧客人數，求X的分布列及數學期望．
（注：將頻率為概率）

Answer 1

分析 （1）設Y表示顧客結算所需的時間．用頻率估計概率，求出Y的分布，A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始結算”，則時間A對應三種情形：①第一個顧客結算所需的時間為1分鐘，且第二個顧客結算所需的時間為3分鐘；②第一個顧客結算所需的時間為3分鐘，且第二個顧客結算所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客結算所需的時間均為2分鐘．由此能求出結果．
（2）X所有可能的取值為：0，1，2．X=0對應第一個顧客結算所需的時間超過為2分鐘；X=1對應第一個顧客結算所需的時間為1分鐘，且第二個顧客結算所需的時間超過為1分鐘，或第一個顧客結算所需的時間為2分鐘；X=2對應兩個顧客結算所需的時間均為1分鐘．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設Y表示顧客結算所需的時間．用頻率估計概率，得Y的分布如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始結算”，則時間A對應三種情形：
①第一個顧客結算所需的時間為1分鐘，且第二個顧客結算所需的時間為3分鐘；
②第一個顧客結算所需的時間為3分鐘，且第二個顧客結算所需的時間為1分鐘；
③第一個和第二個顧客結算所需的時間均為2分鐘．
所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（2）X所有可能的取值為：0，1，2．
①X=0對應第一個顧客結算所需的時間超過為2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
②X=1對應第一個顧客結算所需的時間為1分鐘，且第二個顧客結算所需的時間超過為1分鐘，
或第一個顧客結算所需的時間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
③X=2對應兩個顧客結算所需的時間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用．