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6.定義在R上的函數f(x)滿足f(1)=1,且對任意x∈R都有f′(x)<$\frac{1}{2}$,則不等式f(ex)>$\frac{{e}^{x}+1}{2}$的解集為(-∞,0).

分析 根據題意,構造函數g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x,利用對任意x∈R都有f′(x)<$\frac{1}{2}$,判斷g(x)的單調性.利用g(x)與f(x)的關系以及單調性求解.

解答 解:根據題意,構造函數,設g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x,
那么:g′(x)=f′(x)-$\frac{1}{2}$,
∵f′(x)<$\frac{1}{2}$,
∴g′(x)<0,
∴g(x)為減函數,
不等式f(ex)>$\frac{{e}^{x}+1}{2}$=$\frac{1}{2}{e}^{x}+\frac{1}{2}$,
∵f(1)=1,∴g(1)=$\frac{1}{2}$=g(e0
即g(ex)=f(ex)$-\frac{1}{2}$ex$>\frac{1}{2}$
等價于g(ex)>g(e0
∵g(x)為減函數,ex<e0
解得:x<0
∴不等式解集為(-∞,0)
故答案為:(-∞,0).

點評 本題考查利用導函數判斷函數單調性,構造函數g(x),確定函數的單調性是關鍵

練習冊系列答案
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