Question

9．已知函數f（x）=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{2}{{\sqrt{x-1}}}$+2．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若g（x）=f（$\frac{{1+{x^2}}}{x^2}$），（x≠0），求g（x）的解析式和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據分母不為0以及二次根式的性質求出f（x）的定義域即可；
（Ⅱ）根據f（x）的解析式求出g（x）的解析式即可，結合二次函數的性質求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{x-1≠0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞1，
故f（x）的定義域是（1，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=f（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}-1}$-$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}-1}}$+2=x²-2x+2（x≠0），
而g（x）=（x-1）²+1，
故x=1時，g（x）最小，最小值是1．

點評 本題考查了函數的定義域問題，考查求函數的解析式以及函數的最值問題，是一道基礎題．