Question

19．函數f（x）=x+2cosx是區間[t，t+$\frac{π}{3}}$]上的增函數，則實數t的取值范圍（　　）

• A． $[{2kπ+\frac{π}{6}\;，\;2kπ+\frac{π}{3}}]$
• B． $[{2kπ+\frac{π}{6}\;，\;2kπ+\frac{π}{2}}]$
• C． $[{2kπ+\frac{π}{3}\;，\;2kπ+\frac{π}{2}}]$
• D． $[{2kπ-\frac{7π}{6}，2kπ-\frac{π}{6}}]$

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到函數的單調區間，解不等式組即可．

解答 解：∵f（x）=x+2cosx，
∴f′（x）=1-2sinx，
由f′（x）=1-2sinx≥0，得sinx≤$\frac{1}{2}$，
故x∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，
而f（x）是區間[t，t+$\frac{π}{3}$]上的增函數，
故$\left\{\begin{array}{l}{t≥2kπ-\frac{7π}{6}}\\{t+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
解得：t∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ-$\frac{π}{6}$]，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及三角函數問題，是一道基礎題．