Question

12．在平面直角坐標系中，A（0，-1），B（m，1），C（$\sqrt{3}$，0），若向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角為120°，則實數m的值為（　　）

• A． 0或2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 0或-2$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知點的坐標求出向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐標，再由數量積求夾角公式列式即可求得m值．

解答 解：∵A（0，-1），B（m，1），C（$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}=（m，2），\overrightarrow{AC}=（\sqrt{3}，1）$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}m+2$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{m}^{2}+4}，|\overrightarrow{AC}|=2$，
∴cos120$°=-\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{\sqrt{3}m+2}{2\sqrt{{m}^{2}+4}}$，解得m=0（舍）或$m=-2\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了數量積求斜率的夾角，是中檔題．