Question

已知函數f（x）=

a

x

+lnx，其中a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的定義域，利用函數單調性和導數之間的關系即可求出函數的單調區間，
（2）化簡不等式，分離參數，構造函數，利用導數求出函數最大值，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①當a≤0，f′（x）≥0，恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）單調遞增；
②當a＞0，當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴函數f（x）的單調遞增區間：（a，+∞），單調遞減區間：（0，a）
（2）∵f（x）≥1在（0，e]上恒成立，
∴

a

x

+lnx≥1，
即a≥-xlnx+x任意x∈（0，e]上恒成立，
令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=-lnx，
令g′（x）=0，解得x=1，
∴g（x）在（0，1]遞增，在（1，e]遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1

點評：本題主要考查了導數和函數的單調性和最值的關系，以及恒成立問題，分離參數，求最值是常用的方法，屬于中檔題