Question

函數f（x）=

1

4x+m

（m＞0），x₁，x₂∈R，當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（log₂（x-1）-1）＞f（log

1

2

（x-1）-

3

2

）．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由f(x1)+f(x2)=

1

2

得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，代入x₁+x₂=1化簡可得4x1+4x2=2-m或2-m=0；從而解m；
（2）由（1）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，故不等式f(log2(x-1)-1)＞f(log

1

2

(x-1)-

3

2

)可化為

log2(x-1)-1＜log 1 2 (x-1)- 3 2 x-1＞0

，從而解得．

解答： 解：（1）由f(x1)+f(x2)=

1

2

得，

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，
∴4x1+4x2+2m=

1

2

[4x1+x2+m(4x1+4x2)+m2]，
∵x₁+x₂=1，
∴(2-m)(4x1+4x2)=(m-2)2，
∴4x1+4x2=2-m或2-m=0；
∵4x1+4x2≥2

4x1•4x2

=2

4x1+x2

=4，
而m＞0時2-m＜2，
∴4x1+4x2≠2-m，
∴m=2．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
由f(log2(x-1)-1)＞f(log

1

2

(x-1)-

3

2

)得，

log2(x-1)-1＜log 1 2 (x-1)- 3 2 x-1＞0

，
∴1＜x＜1+

4 8

2

，
∴不等式的解集為{x|1＜x＜1+

4 8

2

}．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用，屬于中檔題．