Question

18．已知正實數x，y滿足xy（x+3y）=x-2y，那么y的最大值為1．

Answer 1

分析 根據題意，將xy（x+3y）=x-2y變形可得yx²+（3y²-1）x+2y=0，原問題可以轉化為方程yx²+（3y²-1）x+2y=0有正數根的問題，結合二次函數的性質可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（3{y}^{2}-1）^{2}-8{y}^{2}≥0}\\{-\frac{3{y}^{2}-1}{2y}＞0}\end{array}\right.$，解可得y的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，由xy（x+3y）=x-2y，變形可得yx²+（3y²-1）x+2y=0，
而x、y都是正實數，
則方程yx²+（3y²-1）x+2y=0有正數根，
又由$\frac{c}{a}$=2＞0，則方程yx²+（3y²-1）x+2y=0的兩根同號，
則有$\left\{\begin{array}{l}{△=（3{y}^{2}-1）^{2}-8{y}^{2}≥0}\\{-\frac{3{y}^{2}-1}{2y}＞0}\end{array}\right.$，
解可得y²≤$\frac{7-2\sqrt{10}}{6}$，
即0＜y≤$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$，
即y的最大值為$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查不等式的應用，關鍵是將不等式轉化為方程有正數解的問題．