Question

13．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且ED=FB=1，G為BC的中點．
（1）求此幾何體的體積；
（2）在線段AF上是否存在點P，使得GP⊥平面AEF？若存在，求線段AP的長，若不存在，請說明理由；
（3）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可把幾何體補成一個邊長為1的正方體ABCD-MFNE，則此幾何體的體積：V=1³-V_A-MEF-V_C-NEF，由此能求出結果．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出在線段AF上存在點P，使得GP⊥平面AEF，并能求出線段AP的長．
（3）求出平面AEF的一個法向量，平面BAF的法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值．

解答 解：（1）如圖，可把幾何體補成一個邊長為1的正方體ABCD-MFNE，
∴此幾何體的體積：
V=1³-V_A-MEF-V_C-NEF
=1-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$
=$\frac{2}{3}$．
（2）如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），G（$\frac{1}{2}$，1，0），E（0，0，1），F（1，1，1），
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AG}$=（-$\frac{1}{2}$，1，0），
設$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AF}$=（0，λ，λ），則$\overrightarrow{GP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AG}$=（$\frac{1}{2}，λ-1，λ$），
由$\overrightarrow{GP}$⊥$\overrightarrow{AF}$，得$\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{AF}$=λ-1+λ=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
此時$\overrightarrow{GP}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GP}$$•\overrightarrow{EF}$=0，
∴此時GP⊥平面AEF，
線段AP的長|AP|=$\sqrt{{0}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）由（2）知平面AEF的一個法向量$\overrightarrow{GP}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
平面BAF的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cod＜$\overrightarrow{GP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{GP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由圖知二面角E-AF-B的平面角是鈍角，
∴二面角E-AF-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查幾何體體積的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，二查二面角的余弦值的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．