Question

4．（1）已知數列{a_n}是等差數列，且${a_1}+{a_5}+{a_9}=\frac{π}{4}$，求$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$的值；
（2）已知數列{a_n}是等差數列，且滿足${a_2}^2={a_1}{a_5}，{a_1}+{a_2}+{a_5}=26$，求數列{a_n}的 通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列通項公式求出${a}_{5}=\frac{π}{12}$，從而求出$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$=sin（$2{a}_{5}+\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{6}$，由此能求出結果．
（2）由等差數列通項公式得到d²=2a₁d，從而求出d=0或d=2a₁，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵數列{a_n}是等差數列，且${a_1}+{a_5}+{a_9}=\frac{π}{4}$，
∴$3{a}_{5}=\frac{π}{4}$，解得${a}_{5}=\frac{π}{12}$，
∴$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$
=sin（$2{a}_{5}+\frac{π}{2}$）
=sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵${a_2}^2={a_1}{a_5}∴{（{{a_1}+d}）^2}={a_1}（{{a_1}+4d}）$，
∴d²=2a₁d∴d=0或d=2a₁…..（7分）
當$d=0時，由{a_1}+{a_2}+{a_5}=26得{a_1}=\frac{26}{3}$，
此時，${a_n}=\frac{26}{3}$…．（8分）
當d=2a₁時，由a₁+a₂+a₅=26得13a₁=26，故a₁=2，d=4，
此時，a_n=2+4（n-1）=4n-2
綜上可知：${a_n}=\frac{26}{3}$或a_n=2+4（n-1）=4n-2．

點評 本題考查正弦值的求法，考查等差數列的通項公式的求法，考查等差數列通項公式、前n項和公式、誘導公式、正弦函數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．