Question

17．已知F₁，F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為P，PF₁與雙曲線相交于Q，且|PQ|=2|QF₁|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據|PQ|=2|QF₁|，以及圓的性質，結合直角三角形的性質，建立三角形的邊角關系，利用雙曲線的定義得到關于a，c的方程進行求解即可．

解答 解：∵點P是以F₁F₂為直徑的圓與C右支的一個交點，
∴即∠F₁PF₂為直角，
∴則設|QF₁|=m，|PQ|=2m，
則|F₁F₂|=2c，
則|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$，|QF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$，
則|PF₁|-|PF₂|=3m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=2a，①
|QF₂|-|QF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$-m=2a，②，
則3m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$-m=2a，
即4m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$，
平方整理得45m²=16c²，
則m²=$\frac{16}{45}$c²，代回②得$\sqrt{4{c}^{2}-5×\frac{16{c}^{2}}{45}}$-$\frac{4\sqrt{5}}{15}$c=2a，
即c=$\sqrt{5}$a
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據直角三角形的邊角關系建立方程組，求出a，c的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，屬于中檔題．