Question

16．已知函數f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，則函數y=f（x+$\frac{π}{3}$）是（　　）

• A． 奇函數且它的圖象關于點（π，0）對稱
• B． 奇函數且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• C． 偶函數且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• D． 偶函數且它的圖象關于點（π，0）對稱

Answer 1

分析 首先，根據已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），然后根據最值正弦函數圖象的性質得到θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），再化簡函數f（x+$\frac{π}{3}$），從而求解問題．

解答 解：∵f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，
∴$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），則θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$cosx，
∴該函數是偶函數且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱．
故選：C．

點評 本題重點考查了輔助角公式、三角函數的最值、函數的基本性質等知識，屬于中檔題．