Question

6．已知點A（m，n）是拋物線M：y²=2px（p＞0）上的動點，點B是圓C：（x-2）²+y²=1上的動點，當且僅當m=$\frac{3}{2}$時，|AB|取得最小值．
（1）求拋物線方程；
（2）已知等邊三角形△ABC的三個頂點在拋物線M上，△ABC的重心Q落在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，求點Q坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意，|AC|的最小值為$\frac{5}{2}$，求出A 的坐標，代入拋物線方程，求出p，即可求拋物線方程；
（2）由題意，不妨設A（0，0），B（$\sqrt{3}$a，a），C（$\sqrt{3}$a，-a），B（$\sqrt{3}$a，a）代入y²=2px，可得a=2$\sqrt{3}$p，△ABC的重心Q（4p，0），利用△ABC的重心Q落在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，即可求點Q坐標．

解答 解：（1）由題意，|AC|的最小值為$\frac{5}{2}$，
∴$\sqrt{（\frac{3}{2}-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，∴n=$±\sqrt{6}$，
A代入拋物線M：y²=2px（p＞0），可得6=2p×$\frac{3}{2}$，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）由題意，不妨設A（0，0），B（$\sqrt{3}$a，a），C（$\sqrt{3}$a，-a），
B（$\sqrt{3}$a，a）代入y²=2px，可得a=2$\sqrt{3}$p，
∴△ABC的重心Q（4p，0），
∵△ABC的重心Q落在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，
∴4p=2$\sqrt{2}$，∴p=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Q（2$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查雙曲線的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．