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1.已知函數f(x)=x2+(a-1)x+b+1,當x∈[b,a]時,函數f(x)的圖象關于y軸對稱,數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=f(n+1)-1
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$,求數列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)依題意,可求得a=1,b=-1,從而得Sn=n2,于是可求得a1及an=Sn-Sn-1=2n+1(n≥2),觀察即可求得數列{an}的通項公式;
(2)由(1)得bn=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$,利用錯位相減法可求得Tn=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$.

解答 解:(1)∵函數f(x)的圖象關于y軸對稱,
∴a-1=0且a+b=0,
解得a=1,b=-1,
∴f(x)=x2
∴Sn=f(n+1)-1=(n+1)2-1=n2+2n
即有an=Sn-Sn-1=2n+1(n≥2),a1=S1=1也滿足,
∴an=2n+1;
(2)由(1)得bn=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$,
Tn=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$,①

∴$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$,②

①-②得$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n-1}}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{7}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$.
∴Tn=7-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$.

點評 本題考查數列通項公式與數列的求和,著重考查數列的錯位相減法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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