Question

5．已知函數f（x）=$\frac{4-x}{ax}$+lnx．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$在區間（1，3）上不單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f（x）=$\frac{4-x}{x}$+lnx，求導，令f′（x）＞0，求得f（x）的單調遞增區間，當f′（x）＜0，求得f（x）的單調遞減區間；
（2）g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$=$\frac{4-x}{ax}$+lnx-$\frac{x}{a}$，求導g′（x）=-$\frac{{x}^{2}-ax+4}{a{x}^{2}}$，由題意可得：方程x²-ax+4=0在區間（1，3）上有根，即方程a=x+$\frac{4}{x}$在區間（1，3）上有根，根據函數的單調性，即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=$\frac{4-x}{x}$+lnx，求導f′（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}}$（x＞0）_--------（2分）
令f′（x）＞0，解得：x＞4，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜4_{------------------------}（4分）
∴f（x）的單調減區間為（0，4），
f（x）的單調增區間為（4，+∞）；　_{------------------------------------------------------}（6分）
（2）g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$=$\frac{4-x}{ax}$+lnx-$\frac{x}{a}$，
求導g′（x）=-$\frac{{x}^{2}-ax+4}{a{x}^{2}}$_{，------------------------------------}（8分）
∵函數g（x）在區間（1，3）上不單調
∴方程x²-ax+4=0在區間（1，3）上有根，
即方程a=x+$\frac{4}{x}$在區間（1，3）上有根，
∴4＜a＜5_{---------------------------}（14分）

點評 本題考查導數研究函數的最值，單調性等問題，考查導數的求導公式，考查計算能力，屬于中檔題．