Question

14．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求當x＞0時f（x）的解析式；
（2）畫出函數f（x）在R上的圖象；
（3）寫出它的單調區間．

Answer 1

分析 （1）若 x＞0，則-x＜0，根據x＜0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．奇函數滿足：f（-x）=-f（x），可得當x＞0時f（x）的解析式；
（2）由（1）可得函數的解析式，結合指數函數的圖象和性質，可畫出函數f（x）在R上的圖象；
（3）由（2）中圖象，可得函數的單調區間．

解答 解：（1）若 x＞0，則-x＜0…（1分）
∵當x＜0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
∴f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x．
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x=-2^x．…（4分）
（2）∵（x）是定義在R上的奇函數，
∴當x=0時，f（x）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0\\ 0，x=0\\-{2}^{x}，x＞0\end{array}\right.$．…（7分）

函數圖象如下圖所示：

（3）由（2）中圖象可得：f（x）的減區間為（-∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）
無增區間…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的解析式，函數的圖象，分段函數的應用，函數的單調性，難度中檔．