Question

4．已知函數f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使f（x）在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在試說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，由導函數在（-∞，+∞）上大于等于0恒成立，分離參數a得答案；
（2）求出原函數的導函數，分離參數a，求得3x²在（-1，1）上的最大值得答案．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-a，
要使f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，需3x²-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即a≤3x²在（-∞，+∞）上恒成立，∴a≤0．
因此當 f（x）在（-∞，+∞） 上單調遞增時，a 的取值范圍是（-∞，0]；
（2）若f（x）在（-1，1）上單調遞減，
則對于任意 x∈（-1，1），不等式f′（x）=3x²-a≤0 恒成立，即 a≥3x²，
又 x∈（-1，1）時，3x²＜3，∴a≥3，
∴函數 f（x）在（-1，1）上單調遞減，實數a的取值范圍是[3，+∞）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法及分離變量法，是中檔題．