Question

13．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線AD₁與BD所成的角為60⁰；若AB的中點為M，DD₁的中點為N，則異面直線B₁M與CN所成的角為90⁰．

Answer 1

分析 題目要求解的是兩條異面直線所成角的，通過尋找平行線，BC₁∥AD₁，異面直線AD₁與BD所成的角為∠DBC₁，△DBC₁是等邊三角形，可得∠DBC₁的大小．給出了AB的中點為M，DD₁的中點為N，過M點作CN平形線交AA₁于F，連接MF，得到異面直線B₁M與CN所成的角為∠FMB₁，求出三條邊的長度，滿足勾股定理，即可求∠FMB₁的大小．

解答 解：由題意：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，BC₁∥AD₁，
異面直線AD₁與BD所成的角為∠DBC₁，連接C₁D，
可得：DB，C₁D，BC₁是正方形的對角線，
∴DB=C₁D=BC₁
所以△DBC₁是等邊三角形，
異面直線AD₁與BD所成的角為∠DBC₁=60°．
AB的中點為M，DD₁的中點為N，
過M點作CN平形線交AA₁于F，連接MF，
異面直線B₁M與CN所成的角為∠FMB₁，
設正方體的邊長為a，則CN=MB₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
MF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，B₁F=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{A}_{1}{F}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{16}{a}^{2}}=\frac{5}{4}a$．
∵$M{F}^{2}+M{{B}_{1}}^{2}=F{{B}_{1}}^{2}$．
∴FM⊥MB₁
即異面直線B₁M與CN所成的角為90°．
故答案為：60°，90°．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧，此題是中低檔題．