Question

1．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，x＜1}\\{-（x-2）^{2}+2，x≥1}\end{array}\right.$，則方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實根個數不可能為（　　）

• A． 8個
• B． 7個
• C． 6個
• D． 5個

Answer 1

分析 以f（x）=1的特殊情形為突破口，解出x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，將x+$\frac{1}{x}$-2是為整體，利用換元的思想方法進一步討論．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，x＜1}\\{-（x-2）^{2}+2，x≥1}\end{array}\right.$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{5}（1-x），x≤0}\\{{-log}_{5}（1-x），0＜x＜1}\\{{-（x-2）}^{2}+2，x≥1}\end{array}\right.$．
因為當f（x）=1時，
x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
則當a=1時，
x+$\frac{1}{x}$-2=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
又因為 x+$\frac{1}{x}$-2≥0
或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4，
所以，當x+$\frac{1}{x}$-2=-4時只有一個x=-2與之
對應．
其它情況都有2個x值與之對應，
故此時所求的方程有7個根，
當1＜a＜2時，y=f（x）與y=a有4個交點，
故有8個根；
當a=2時，y=f（x）與y=a有3個交點，
故有6個根；
綜上：不可能有5個根，
故選：D．

點評 本題重點考查了分段函數、函數的零點等知識，屬于中檔題．