Question

9．已知函數f（x）=x³-3x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0，2]時，求f（x）的值域；
（3）若關于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，求實數k的取值范圍；
（4）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，由導函數大于0求得x的范圍得原函數的增區間，由導函數小于0求得x的范圍得原函數的減區間；
（2）由（1）可得f（x）在[0，2]上的單調性，求出函數的極值及端點值得值域；
（3）分離參數k，由（2）中函數的最小值得答案；
（4）由（1）可得，若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，-2≤f（x₂）≤2，從而求得-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，結論得證．

解答 （1）解：由已知f（x）=x³-3x，得f′（x）=3x²-3，
由 f′（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，由 f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）；
（2）解：由（1）可知，當x∈[0，1]時，f（x）單調遞減，x∈[1，2]時，f（x）單調遞增，f（x）的最小值為f（1）=-2．
又∵f（0）=0，f（2）=2，∴f（x）的最大值為f（2）=2．
∴當x∈[0，2]時，函數f（x）的值域為[-2，2]；
（3）解：關于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，
即當x∈[0，2]時，k≤f（x）恒成立，k應小于等于函數f（x）在區間[0，2]上的最小值，
∴k≤-2；
（4）證明：函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）．
∴若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，
同理，-2≤f（x₂）≤2，
∴-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，即：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數在閉區間上的最值，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．