Question

18．如圖，我軍軍艦位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距6海里，海盜船以10海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向逃跑，若我軍軍艦從B處出發沿北偏東α的方向以14海里/小時的速度追趕海盜船．
（1）求我軍軍艦追上海盜船的時間；
（2）求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用余弦定理列方程，求出時間t；
（2）在△ABC中，利用正弦定理計算sinα，從而可得cosα．

解答 解：（1）設我軍軍艦t小時追上海盜船，則AC=10t，BC=14t，∠BAC=120°，
由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°，
∴196t²=36+100t²+60t，解得t=1．
∴我軍軍艦追上海盜船的時間為1小時．
（2）在△ABC中，AB=6，AC=14，∠BCA=α，
由正弦定理得：$\frac{AB}{sinα}$=$\frac{BC}{sin120°}$，∴sinα=$\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{14}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴cosα=$\frac{13}{14}$．

點評 本題考查了正余弦定理解三角形，屬于基礎題．