Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞b＞0時(shí)，試證明：（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值．
（Ⅱ）要證（1+a）^b＜（1+b）^a，只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證  $\frac{ln（1+a）}{a}＜\frac{ln（1+b）}{b}$，設(shè)$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}$，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可證明．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞），f'（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1）…（2分）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，…（4分）
所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_極大值=f（0）=0．函數(shù)f（x）無極小值．      …（5分）
（2）要證（1+a）^b＜（1+b）^a，只需證bln（1+a）＜aln（1+b），…（6分）
只需證  $\frac{ln（1+a）}{a}＜\frac{ln（1+b）}{b}$，…（7分）
設(shè)$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，…（10分）
由（1）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴x-（x+1）ln（x+1）＜f（0）=0，
即g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，而a＞b＞0
∴g（a）＜g（b），故不等式（1+a）^b＜（1+b）^a．成立． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，構(gòu)造新函數(shù)證明不等式，屬于中檔題．