Question

3．某企業開發一種新產品，現準備投入適當的廣告費，對產品進行促銷，在一年內，預計年銷量Q（萬件）與廣告費x（萬件）之間的函數關系為$Q=\frac{3x-2}{x}（x＞0）$，已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每年產1萬件此產品仍需要投入32萬元，若年銷售額為（32Q+3）•150%+x•50%，而當年產銷量相等．
（1）試將年利潤P（萬件）表示為年廣告費x（萬元）的函數；
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？

Answer 1

分析 （1）用年銷售額減去廣告費用和投入成本得出利潤；
（2）利用基本不等式求出利潤最大值及其對應的x的值．

解答 解：（1）P=（32Q+3）•150%+x•50%-（32Q+3）-x
=$\frac{1}{2}$[32（$\frac{3x-2}{x}$）+3]-$\frac{x}{2}$
=-$\frac{x}{2}$-$\frac{32}{x}$+$\frac{99}{2}$（x＞0）．
（2）-$\frac{x}{2}$-$\frac{32}{x}$+$\frac{99}{2}$=-（$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$）+$\frac{99}{2}$≤-2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{32}{x}}$+$\frac{99}{2}$=$\frac{83}{2}$．
當且僅當$\frac{x}{2}=\frac{32}{x}$時，即x=8時取等號，
答：當年廣告費投入8萬元時，企業年利潤最大，最大值為$\frac{83}{2}$萬元．

點評 本題考查了基本不等式在求函數最值中的應用，屬于中檔題．