Question

13．直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交于A，B兩點，若直線l的方程為x-2y+1=0，則線段AB的中點坐標是（　　）

• A． （-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）
• C． （1，1）
• D． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 把直線x-2y+1=0代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，消去x，化簡可得6y²-4y-7=0，運用韋達定理，中點坐標公式可得線段AB的中點的縱坐標，代入直線x-2y=-1可得線段AB的中點的橫坐標，可得答案．

解答 解：把直線x-2y+1=0代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，
消去x，化簡可得6y²-4y-7=0，由根與系數的關系可得：
y₁+y₂=$\frac{2}{3}$，故線段AB的中點的縱坐標是$\frac{1}{3}$，
把y=$\frac{1}{3}$代入直線x-2y=-1可得x=-$\frac{1}{3}$，
故線段AB的中點坐標是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
故選：D．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，線段的中點公式的應用，一元二次方程根與系數的關系，把直線x-2y+1=0代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，消去x，化簡可得6y²-4y-7=0，是解題的關鍵．